ปฏิทรรศน์ คือ สภาวะที่เกิดความขัดแย้ง จนหาคำตอบไม่ได้

คิดว่ามีโอกาสครับ แต่มีข้อแม้ว่ากระต่ายต้องไม่แอบหลับเสียก่อน ไพศาลตอบ

ปัญหาเรื่องปฏิทรรศน์ข้อหนึ่งของซีโนก็เหมือนกับปัญหา
กระต่ายวิ่งแข่งกับเต่านี้แหละ เพียงแต่เปลี่ยนมาจับคนที่ชื่ออคิลิส
Achilles
ผู้เป็นนักวิ่งที่เร็วมากในสมัยนั้น มาวิ่งแข่งกับเต่าแทน
โดยให้สตาร์ทออกพร้อมกันในขณะที่เต่านำหน้าอยู่ระยะทางหนึ่ง
ซีโนอธิบายว่า...
ขณะที่อคิลิสวิ่งไปถึงครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เต่านำหน้าอยู่ในตอนแรกที่สตาร์ท
เต่าก็จะเคลื่อนที่ห่างจากเดิมไปอีก
เราขอเรียกระยะห่างระหว่างเต่ากับอคิลิสในตอนนั้นว่าเป็นระยะห่างครั้งที่สอง และถ้าอคิลิสยังวิ่งไปจนถึงครึ่งหนึ่งของระยะห่างครั้งที่สองนั้น
เต่าก็จะยังคงเคลื่อนที่ห่างจากจุดที่สองไปอีก ถ้าคิดตามนี้ไปเรื่อยๆ อคิลิสก็จะไม่มีทางที่วิ่งแซงเต่าไปได้เพราะเมื่อวิ่งไปได้ครึ่งหนึ่งของระยะห่างครั้งต่อไป เต่าก็จะวิ่งกระเถิบหนีไปเรื่อยๆอย่างไม่มีวันสิ้นสุด

ประเด็นมันอยู่ที่ปัญหาความคิดของเราในเรื่องความต่อเนื่องของขนาดหรือปริมาณ กล่าวคือ...

ถ้าเราแบ่งครึ่งระยะทางหนึ่งๆไปเรื่อยๆ เราจะแบ่งได้แบบนี้ไปได้เรื่อยๆหรือเปล่า
มันจะมีวันสิ้นสุดหรือเปล่า
ยกตัวอย่างเช่น เราสามารถแบ่งครึ่งเลข
1 ได้เป็น 0.5 และเราสามารถแบ่งครึ่ง0.5 ออกเป็น 0.25 แต่เราจะสามารถแบ่งครึ่งแบบนี้ไปได้เรื่อยๆหรือเปล่า?

ปัญหาปฏิทรรศน์ข้อนี้เกิดจากการที่ระยะทางระหว่างเต่ากับอคิลิสถูกแบ่งครึ่งได้อย่างไม่สิ้นสุด ก็เลยทำให้อคิลิสไม่มีวันวิ่งทันเต่าได้

นอกจากนี้ เราอาจยกตัวอย่างปัญหาปฏิทรรศน์ข้ออื่นของซีโนที่เกี่ยวข้องกับ
ความต่อเนื่องของขนาดหรือของปริมาณอีกข้อ
กล่าวคือ...
ถ้าเราเติมน้ำทีละหยดๆลงในถังใบหนึ่งที่บรรจุไวน์แดงไว้
ในขณะที่เติมน้ำทีละหยดก็จะมีการกวนของเหลวในถังนั้นไปด้วย พร้อมกับมีก๊อกเปิดของเหลวที่อยู่ในถังนั้นออกมาให้ชิมได้ ปัญหาคือเราสามารถหาน้ำหยดสุดท้ายที่ทำให้ของเหลวที่เราชิมเปลี่ยนรสชาติจากไวน์แดง
มาเป็นน้ำได้หรือเปล่า
???

ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาปฏิทรรศน์นี้ได้ โดยอาจอ้างว่าสิ่งต่างๆไม่ว่าจะเป็น ระยะทาง สิ่งของ และ เวลา จะต้องมีส่วนที่เล็กที่สุดที่ไม่สามารถแบ่งได้อีกต่อไป อย่างไรก็ดี เราอาจพูดได้ว่าส่วนที่เล็กที่สุดของสิ่งของ คือ อะตอม แต่ส่วนที่เล็กที่สุดของ ระยะทาง และ เวลา มันคืออะไร ดูเหมือนว่าเราจะตอบได้ไม่ง่ายนัก

หนูว่าเป็นไปไม่ได้หรอก

ที่จะมี ระยะทาง หรือ เวลา

ที่เล็กที่สุดที่แบ่งไม่ได้แล้ว แต่ยังมีค่ามากกว่าศูนย์

ในวิชาแคลคูลัสหรืออินทริเกรท เธอคงจำได้ว่ามีการใช้สัญลักษณ์แทนปริมาณใด้ๆที่ถูกแบ่งคนมีขนาดเล็กที่สุด จนเข้าใกล้ศูนย์ ถ้าเราวาดกราฟแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ โดยมีแกนนอนเป็นเวลา และแกนตั้งเป็นระยะทาง หรือเราอาจแทนกราฟนั้นด้วยสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางและเวลา ถ้าเราต้องการหาค่าความเร็วของวัตถุนี้ที่เวลาใดๆ โดยที่ความเร็วเกิดจากอัตราส่วนระหว่างระยะทางหารด้วยระยะเวลา ถ้าดูจากกราฟ ความเร็วที่เวลาใดๆก็คือการลากเส้นตรงสัมผัสกับเส้นกราฟที่เวลานั้นๆ ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสนั้น ก็คือค่าความเร็วของวัตถุนั้นที่เวลานั้น ดังนั้นวิชาแคลคูลัสจะบอกเราว่าความเร็วของวัตถุที่เวลานั้นก็คือ อัตราส่วนระหว่างระยะทางกับระยะเวลาที่เวลานั้นๆ โดยระยะเวลาจะเป็นช่วงที่เล็กมากจนเข้าใกล้ศูนย์Infinitesmall quantities หมายความว่าเป็นช่วงเวลาที่สั้นที่สุดที่ไม่สามารถลดได้อีกแล้ว แต่ยังมีค่ามากกว่าศูนย์และจากความคิดดังกล่าว เราสามารถใช้สูตรทางแคลคูลัสมาดิฟสมการที่แสดงระยะทางที่อยู่ในรูปของเวลา เทียบกับเวลาอีกที เราจะสามารถรู้ค่าความเร็วที่เวลาต่างๆได้ จะเห็นว่ามีการใช้ความคิดเรื่องช่วงเวลาที่สั้นที่สุดที่ไม่สามารถลดได้อีกแล้ว แต่ยังมีค่ามากกว่าศูนย์ในวิชาแคลคูลัสด้วย นักปรัชญาบางคนในเวลานั้นก็คิดเหมือนเธอว่าเป็นไปไม่ได้หรอกที่จะมี ระยะทาง หรือ เวลาที่เล็กที่สุดที่แบ่งไม่ได้แล้ว แต่ยังมีค่ามากกว่าศูนย์

ผมนึกไม่ถึงเลยว่า ปัญหาที่คนกรีกตั้งไว้ เมื่อสามพันกว่าปีก่อน จะมาเกี่ยวข้องกับวิชาแคลคูลัสได้ไพศาลออกความเห็น

การที่เราจะทำความเข้าใจกับความคิดเรื่อง ส่วนที่เล็กที่สุดของระยะทาง และ เวลานี้ได้ จะต้องศึกษาถึงทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ ที่ว่าด้วยระยะทาง และ เวลา ซึ่งเกินขอบเขตของการเรียนในชั่วโมงนี้ ที่จริงแล้ว คำถามนี้อาจเป็นคำถามที่ไม่ควรถาม เพราะเป็นคำถามที่เกิดจากการเข้าใจผิดของเราที่เกี่ยวกับคุณสมบัติของระยะทางและเวลา นี่แสดงให้เห็นว่า สิ่งที่ดูธรรมดาๆบางอย่างในธรรมชาติ ถ้าคิดให้มันลึกซึ้งแล้วจะเห็นว่าเป็นสิ่งที่ไม่ธรรมดาเลย

ตัดตอนมาจาก หนังสือปลายทางที่อินฟินิตี้ของ พิพัฒน์ พสุธารชาติ

Comment

Comment:

Tweet

ชอบ ๆ สิ่งที่ดูธรรมดาบางทีไม่ธรรมดาจริง ๆ เนอะconfused smile Hot!

#1 By pbmath on 2009-06-21 18:43